Leistung einer Windkraftanlage berechnen
Haben Sie sich auch schon einmal gefragt, ob es sich lohnen wurde, in Ihrem Garten eine Mini-Windkraftanlage aufzustellen? Vielleicht haben Sie ja auch schon mal eine Werbung gesehen, in der Ihnen eine solche Anlage zum Verkauf angeboten wird.
Auf dem folgenden Screenshot sehen Sie z.B. eine Windkraftanlage, die auf Ebay angeboten wird:
Die folgenden interessanten Eckdaten greifen wir einmal auf:
| Nennleistung | 7,5 - 8,2 kW |
| Jährliche Energiemenge | 15 - 20 kWh |
| Rotordurchmesser | 5,6 m |
| Preis | 19.442 Euro |
In diesem Beitrag erfahren Sie, wie glaubwürdig solche Angebote sind und ob sich der Betrieb einer Windkraftanlage für Sie lohnen wird.
Die Schritte zur Berechnung habe ich in einem Kurs zur Energietechnik der Uni Münster am Institut für Technik und Ihre Didaktik bei Prof. Hein kennengelernt. Auch dort haben wir einmal ein Angebot kritisch nachgerechnet. Ich hoffe, dass ich keine wichtigen Berechnungsschritte vergessen habe.
Wenn Sie keine Lust haben, die Berechnungen nachzuvollziehen und zuerst das Ergebnis sehen wollen, können Sie auch das folgende Tool nutzen. Sie können mit dem Tool die Leistung jeder Windkraftanlage berechnen. Es spielt überhaupt keine Rolle, wie groß die Windkraftanlage oder wie sie aufgebaut ist (wenn sie einen klassischen Rotor hat).
Rechenweg
Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie der Windteilchen in elektrische Energie um. Die allgemeine Formel zur Bestimmung von Bewegungsenergie lautet:
\(E = \frac{1}{2} * m * v^2\)
Das Symbol m steht für die Masse des Windes. Auch Luft hat eine Masse. Diese lässt sich nach folgender Formel bestimmen:
\(m = \rho * \dot{V}\)
Das V mit dem Punkt drüber steht für den Volumenstrom. Der Buchstabe, der wie ein lateinisches p aussieht, ist ein griechisches "Rho". Der Volumenstrom ist das Produkt aus der Fläche des Rotors und der Windgeschwindigkeit v:
\( \dot{V} = A * v\)
Die Fläche A wird nach folgender Formel berechnet:
\(A = \pi * r^2\)
Aufgelöst ergibt sich für die Leistung des Windes die folgende Formel:
\(P = \frac{1}{2} * \rho * \pi * r^2 * v^3\)
Genau diese Formel nutzen wir für die Berechnung der Windleistung. Das Ergebnis brauchen wir nur noch mit dem Wirkungsgrad der Windkraftanlage zu multiplizieren. Den Wirkungsgrad geben Hersteller von kleinen Windkraftanlagen nicht immer an. Der Wirkungsgrad von ca. 59 % kann niemals überschritten werden, wie sich ebenfalls durch Berechnungen eindeutig zeigen lässt.
Erkenntnisse
Die Formeln zeigen, dass es für die optimale Energieausbeute auf zwei Faktoren ankommt:
- Länge der Rotorblätter (geht zum Quadrat ein)
- Windgeschwindigkeit (geht mit der dritten Potenz ein)
Diese beiden Faktoren können vom Menschen beeinflusst werden, die Windgeschwindigkeit indirekt durch den Aufstellort.
Das Beispiel von unserer Ebay-Seite zeigt, dass Angebote im Internet die durchschnittliche Windgeschwindigkeit zu optimistisch einschätzen. Würde die Windkraftanlage den höchstmöglichen Wirkungsgrad von 59 % erreichen (üblich sind z.B. 40%), müsste immer noch eine durchschnittliche Windgeschwindigkeit von 6,1 m/s vorliegen, um die angegebene Leistung zu erreichen. Das ist ein Wert, den man in Deutschland nur in unmittelbarer Küstennähe erreicht.
Wirtschaftlichkeitsrechnung
Zu guter Letzt möchten wir uns noch fragen, wie lange es dauert, bis sich die Windkraftanlage amortisiert hat.
Unsere Berechnungen zeigen, dass die Windkraftanlage durchschnittlich ungefähr 1 kW pro Stunde bei einer angenommenen durchschnittlichen Windgeschwindigkeit von 5 m/s. 5 m/s sind ein Wert, der in den besten Lagen des Bundeslands NRW erreicht wird.
Wie lange wird es dauern, bis wir mit 1 kWh 19.442 Euro verdient haben? Bei einem Strompreis von 35 Cent würden wir pro Tag 8,40 Euro verdienen. Somit hätte sich die Anlage nach 2.315 Tagen amortisiert.
Wie realistisch sind nun die 5 m/s? Das ist die Frage, die sie genau beantworten müssen. Zum Vergleich. Würde nur eine durchschnittliche Windgeschwindigkeit von 4 m/s vorliegen, würde sich die Amortisationszeit schon fast verdoppeln auf 4.384 Tage.
Wir dürfen nicht vergessen, dass wir eine sehr optimistische Einschätzung des Wirkungsgrads vorgenommen haben (59%). Wenn wir von einem Wirkungsgrad von 40% ansetzen, beträgt die Amortisierungszeit 6465 Tage bei einer Windgeschwindigkeit von 4 m/s. Nach weit über 17 Jahren könnten wir die Kosten decken.
Die wichtigsten Unsicherheiten unserer Berechnung sind:
- die durchschnittliche Windgeschwindigkeit
- der Strompreis im zeitlichen Verlauf
- der Wirkungsgrad der Windkraftanlage
Auch der Strompreis von 35 Cent ist ja eine Annahme, die wir getroffen haben. Der kann ebenfalls steigen und unsere Windkraftanlage früher rentabel werden lassen. Inflation kann ja fast jede Investition nominal rentabel werden lassen. Aber auch dann sollte man die Alternativen bedenken. Die Alternative besteht darin, gemeinsam als Stadt oder Dorf eine Windkraftanlage zu bauen. An den Formeln sehen Sie, dass die Größe der Windkraftanlage wichtig ist. Es lohnt sich eher, eine sehr große Anlage, als viele kleine zu bauen.
Quellen
Bei den Berechnungen habe ich mich an einem Vorlesungsskript von Prof. Hein aus der Energietechnik der Uni Münster (Institut für Technik und ihre Didaktik) orientiert. Disclaimer: Für mögliche Fehler trägt allein der Webmaster die Verantwortung.
Um dieses Tool zu realisieren, habe ich ein JavaScript-Framework genutzt, was den Aufwand für die Programmierung des Tools auf ein paar Minuten reduziert hat. Das Tool heißt "fparce" und kann hier heruntergeladen werden.
https://github.com/bylexus/fparse
Um die mathematischen Formeln darzustellen, habe ich das folgende Tool genutzt: